Как найти площадь треугольника через синус?
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними
Площадь в таком случае будет равна половине произведения сторон на синус угла между ними.
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} a*b*\sin \beta\)
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} a*c*\sin \alpha\)
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} c*b*\sin \gamma\)
Формула площади треугольника через сторону и два прилежащих угла
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \gamma}\)
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} b^2 \frac{\sin \gamma \sin \beta}{\sin \alpha}\)
\(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} c^2 \frac{\sin \alpha \sin \gamma}{\sin \beta}\)
Примеры
В треугольнике известны две стороны и угол между ними. a=15, b=5; угол β = 30 градусов. Найдите площадь такого треугольника.
Решение:
Воспользуемся формулой \(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} a*b*\sin \beta = \frac{1}{2}*15*5*\sin30 = 18,75\)
Ответ: 18,75
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 20, а прилежащие углы 30 и 70.
Решение:
Воспользуемся формулой \(S_\bigtriangleup = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{1}{2} *20^2 \frac{\sin 30 \sin 70}{\sin \gamma} = 200\frac{\sin 30 \sin 70}{\sin 80} = 95,42\)
Чтобы найти угол гамма (γ), нужно γ= 180-α-β = 180-30-70=80°
Ответ: 95,42