Как найти площадь треугольника ABC?

Формулы площади треугольника ABC

Предположим, есть треугольник АВС. Стороны обозначены a, b, c. Проведена высота (h) к основанию c. Ниже перечислим все возможные формулы нахождения площади данного треугольника.

\(S_\bigtriangleup= \frac{1}{2} c h\)

\(S_\bigtriangleup= \frac{1}{2} a c \sin\alpha\)

\(S_\bigtriangleup= \frac{abc}{4R}\)

\(S_\bigtriangleup= \frac{1}{2} r(a+b+c) = pr\)

\(S_\bigtriangleup =\sqrt{ p (p-a)(p-b)(p-c)}\)

\(S_\bigtriangleup =\frac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}\)

\(S_\bigtriangleup= \frac{a^2\sin \alpha \sin \beta}{2\sin \gamma}\)

\(S_\bigtriangleup= 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\)

a, b, c - стороны треугольника
p - полупериметр (сумма всех сторон, деленная на 2)
r - радиус вписанной окружности
R - радиус описанной окружности
h - высота, опущенная на сторону

Примеры

Есть треугольник АВС, в который вписана окружность с радиусом r=10. Найдите площадь треугольника, зная что его периметр равен 70.

Решение: 

Для того, чтобы воспользоваться формулой, сначала нужно найти полупериметр треугольника АВС, который будет равен 70/2 = 35.

\(S_\bigtriangleup= \frac{1}{2} r(a+b+c) = pr = 35*10 = 350\)

Треугольник вписан в окружность с радиусом R=15. А углы равны 100, 30 и 50. Нужно найти площадь треугольника abc.

Решение:

\(S_\bigtriangleup= 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = 2*15^2*\sin100*\sin30*\sin50 = 169,73\)

Стороны треугольника составляют a=30, b=14, c=17. Найдите его площадь.

\(S_\bigtriangleup =\frac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} = \frac{1}{4}\sqrt{(30+14+17)(14+17-30)(30+17-14)(30+14-17)} = \frac{1}{4}\sqrt{27*1*27} = 6.75\)